Question

已知函數(shù)f(x)=log2

a•2x+2

2x+b

（a，b∈R）的圖象過點（1，2），它的反函數(shù)的圖象也過點（1，2）．
（1）求實數(shù)a，b的值，并求函數(shù)f（x）的定義域和值域；
（2）判斷函數(shù)f（x）在其定義域上的單調(diào)性（不必證明），并解不等式f（2x-1）＞1．

Answer 1

分析：（1）直接根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)之間的關(guān)系得到函數(shù)f（x）過點（1，2）和（2，1），得到關(guān)于a，b的兩個等式，解方程即可求出a，b的值；再結(jié)合真數(shù)大于0求出其定義域，利用分離常數(shù)法求出真數(shù)的范圍即可求出其值域．
（2）直接根據(jù)函數(shù)f（x）過點（1，2）和（2，1），得到其在（0，+∞）上為減函數(shù)；再結(jié)合f（2）=1把不等式轉(zhuǎn)化為f（2x-1）＞f（2）即可求出不等式的解集．

解答：解：（1）依題意，函數(shù)f（x）過點（1，2）和（2，1），
則

log2 2a+2 2+b =2 log2 4a+2 4+b =1

⇒

2a-4b=6 4a-2b=6

⇒

a=1 b=-1

…（3分）
所以f(x)=log2

2x+2

2x-1

…（4分）
由

2x+2

2x-1

＞0⇒2x-1＞0⇒2x＞1⇒x＞0，
∴f（x）的定義域為：（0，+∞）．…（6分）
令t=

2x+2

2x-1

=1+

3

2x-1

，
∵x＞0
∴t＞1，f（x）=log₂t＞0
∴f（x）的值域為：（0，+∞）…（8分）
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．…（9分）
∵函數(shù)f（x）過點（2，1），
∴f（2）=1，
則f（2x-1）＞1=f（2）
∴

2x-1＞0 2x-1＜2

⇒

1

2

＜x＜

3

2

即不等式f（2x-1）＞1的解集為(

1

2

，

3

2

)．…（14分）

點評：本題主要考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及原函數(shù)與反函數(shù)之間的關(guān)系．對數(shù)函數(shù)是許多知識的交匯點，是歷年高考的必考內(nèi)容，在高考中主要考查：定義域、值域、圖象、對數(shù)方程、對數(shù)不等式、對數(shù)函數(shù)的主要性質(zhì)（單調(diào)性等）及這些知識的綜合運(yùn)用．