Question

理科已知函數，當時，函數取得極大值.
（Ⅰ）求實數的值；（Ⅱ）已知結論：若函數在區間內導數都存在，且，則存在，使得.試用這個結論證明：若，函數，則對任意，都有；（Ⅲ）已知正數滿足求證：當，時，對任意大于，且互不相等的實數,都有

Answer 1

（Ⅰ）m=-1；（Ⅱ）利用導數判斷函數的單調性，從而證明不等式；（Ⅲ）利用數學歸納法證明

試題分析：（Ⅰ）. 由，得，此時.
當時，，函數在區間上單調遞增；
當時，，函數在區間上單調遞減.
函數在處取得極大值，故.  3分
（Ⅱ）令，  4分
則.函數在上可導，存在，使得.又
當時，，單調遞增，；
當時，，單調遞減，；
故對任意，都有.  8分
（Ⅲ）用數學歸納法證明.
①當時，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
當時，結論成立.  9分
②假設當時結論成立，即當時，
. 當時，設正數滿足令，
 
則，且.

   13分
當時，結論也成立.
綜上由①②，對任意，，結論恒成立.  14分
點評：近幾年新課標高考對于函數與導數這一綜合問題的命制，一般以有理函數與半超越（指數、對數）函數的組合復合且含有參量的函數為背景載體，解題時要注意對數式對函數定義域的隱蔽，這類問題重點考查函數單調性、導數運算、不等式方程的求解等基本知識，注重數學思想（分類與整合、數與形的結合）方法（分析法、綜合法、數學歸納法）的運用.把數學運算的“力量”與數學思維的“技巧”完美結合.