Question

如圖1，、是橢圓的長軸上兩點，分別為橢圓的短軸和長軸的端點，是上的動點，若的最大值與最小值分別為3、.

(1)求橢圓的離心率；

(2)如圖2，點F（1，0），動點Q、R分別在拋物線及橢圓 的實線部分上運動，且QR∥x軸，求△FQR的周長l的取值范圍．

 

(圖1)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(圖2)

Answer 1

（1）設，則

∴，                    ………… 2分

∵的最大值與最小值分別為3、，

∴ 的最大值與最小值分別為4、，   ………… 3分

而 表示線段CD上的點到原點的距離OP的平方

∴點OP的最大值為OD ＝2，即………… 5分

OP的最小值即為O到線段CD的距離，

由平面幾何知識得OC＝，即，…………7分

得，則橢圓的離心率.      ………… 9分

（2）設，由拋物線的定義知等于點到拋物線準線的距離，

∴等于點到拋物線準線的距離為………… 11分

由橢圓的第二定義知，

∴△NAB的周長l＝＝.………… 13分

由得：拋物線與橢圓交點的橫坐標為，即得.

所以△FQR的周長l的取值范圍為.………… 16分