Question

給出下列四個命題：
①若|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，則

a

∥

b

；
②(

b

•

c

)

a

-(

c

•

a

)

b

與

c

不垂直；
③在△ABC中，三邊長BC=5，AC=8，AB=7，則

BC

•

CA

=20；
④設A（4，a），B（b，8），C（a，b），若OABC為平行四邊形（O為坐標原點），則∠AOC=

π

4

．
其中真命題的序號是

①④

（請將你正確的序號都填上）．

Answer 1

分析：①由|

a

•

b

|=|

a

|•|

b

|，知θ=0或θ=π，得

a

∥

b

；
②由[（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

]•

c

=0，得（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

與

c

垂直．
③由余弦定理求出cosC，用向量的數量積公式求

BA

•

CA

；
④由向量相等可得命題正確．

解答：解：①∵|

a

•

b

|=|

a

||

b

||cosθ|=|

a

|•|

b

|，∴|cosθ|=1，∴θ=0或θ=π，
∴

a

∥

b

，命題正確；
②∵[（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

]•

c

=0，∴（

b

•

c

）

a

-（

c

•

a

）

b

與

c

垂直，∴原命題不正確；
③由余弦定理得，cosC=

52+82-72

2×5×8

=

1

2

，∴

BA

•

CA

=5×8×cos（π-C）=5×8×（-

1

2

）=-20，∴原命題錯誤；
④由題意得：

OA

=（4，a），

CB

=（b-a，8-b），
∵四邊形OABC是平行四邊形，∴

OA

=

CB

，∴

b-a=4 8-b=a

，解得

a=2 b=6

，∴

OA

=（4，2）；
∴

OC

=（2，6），∴

OA

•

OC

=8+12=20，
又

OA

•

OC

=|

OA

||

OC

|cos∠AOC=2

5

×2

10

×cos∠AOC=20

2

cos∠AOC；
∴cos∠AOC=

2

2

．
∵0＜∠AOC＜π，∴∠AOC=

π

4

；命題正確．
所以，真命題的序號是 ①④．
故答案為：①④．

點評：本題利用命題真假的判斷，考查了平面向量的綜合應用知識，是中檔題．