Question

函數f（x）=x3+

1

2

ax2+x+1（x∈R）．
（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，設g（x）=e^2x-ae^x，x∈[0，ln2]，求函數g（x）的最小值；
（3）當a=0時，曲線y=f（x）的切線的斜率的取值范圍記為集合A，曲線y=f（x）上不同兩點P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）連線的斜率的取值范圍記為集合B，你認為集合A，B之間有怎樣的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）若f（x）在x∈（-∞，+∞）上是增函數，則利用f'（x）≥0恒成立．
（2）利用換元法，將函數轉化為一元二次函數，利用一元二次函數的單調性求函數的最小值．
（3）利用導數求切線斜率，利用條件求出集合A，B，然后利用集合A，B元素關系判斷集合之間的關系．

解答：解：（1）因為f'（x）=3x²+ax+1，若△=a²-12＜0，即-2

3

＜a＜2

3

時，都有f'（x）＞0，此時函數在R上單調遞增．
若△=0，即a=±2

3

時，f'（x）≥0，所以此時函數在R上單調遞增．
若△＞0，顯然不合題意，
綜上若函數在R上單調遞增，則實數a的取值范圍[-2

3

，2

3

]．
（2）設t=e^x，則t∈[1，2]，h（t）=t²-at=(t-

a

2

)2-

a2

4

，
當-

3

≤

a

2

≤1，即-2

3

≤a≤2時，h（t）在[1，2]上是增函數，所以當t=1時，h（t）的最小值為h（1）=1-a，也是最小值．
當1＜

a

2

≤

3

，即2＜a≤2

3

時，h（t）的最小值為h（2

3

）=12-2

3

a．
（3）集合A，B之間的關系為B是A的真子集．
證明如下：當a=0時，f（x）=x³+x+1，f'（x）=3x²+1≥1，故A=[1，+∞）．
設PQ的斜率為k，則k=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

=

x

2 1

+x1x2+

x

2 2

+1=(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

+1，
若(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

=0，當且僅當

x2=0 x1+ x2 2 =0

，即x₁=x₂=0，這與已知x₁≠x₂矛盾，
所以(x1+

x2

2

)2+

3

4

x

2 2

＞0，由此可得k＞1，所以B=（1，+∞），
即B是A的真子集．

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調，綜合性較強，運算量較大．