Question

（2007•東城區一模）已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c，曲線y=f（x）在點x=1處的切線l不過第四象限且斜率為3，又坐標原點到切線l的距離為

10

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，若x=

2

3

時，y=f（x）有極值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[-3，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）求出f′（x），由x=1時，切線l的斜率為3得，f′（1）=3；x=

2

3

時，y=f（x）有極值，得f′（

2

3

）=0；兩者聯立可解a，b值；設切線l的方程為y=3x+m，由原點到切線l的距離為

10

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，可得一方程，可得m，根據不過四象限，可確定m取舍；
（2）由（1）可得f（x）表達式，利用導數可求得函數極值、在區間端點處的函數值，對其進行比較即可得到最大值、最小值；

解答：解：（1）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b，
當x=1時，切線l的斜率為3，可得2a+b=0．①
當x=

2

3

時，y=f（x）有極值，則f′（

2

3

）=0，即4a+3b+4=0②
聯立①②解得a=2，b=-4．
設切線l的方程為y=3x+m，
由原點到切線l的距離為

10

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，
則=

|m|

32+1

=

10

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解得m=±1．
∵切線l不過第四象限，∴m=1，
由于切點的橫坐標為x=1，∴f（1）=4，
∴1+a+b+c=4，∴c=5．
故a=2，b=-4，c=5．
（2）由（1）可得f（x）=x³+2x²-4x+5，
∴f′（x）=3x²+4x-4．
令f′（x）=0，得x=-2，x=

2

3

．
當x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下表：

x	[-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，1]
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	??↑	極大值	??↓	極小值	?↑?

∴f（x）在x=-2處取得極大值f（-2）=13，
在x=

2

3

處取得極小值f（

2

3

）=

95

27

．
又f（-3）=8，f（1）=4，
∴f（x）在[-3，1]上的最大值為13，最小值為

95

27

．

點評：本題考查函數在某點取得極值的條件、利用導數求函數在閉區間上的最值問題，準確求導，熟練運算是解決該類問題的基礎，屬中檔題．