Question

【題目】已知圓，直線.

（1）求直線所過定點A的坐標；

（2）求直線被圓C所截得的弦長最短時直線的方程及最短弦長；

（3）已知點M(-3,4)，在直線MC上(C為圓心)，存在定點N(異于點M)，滿足：對于圓C上任一點P，都有為一常數(shù)， 試求所有滿足條件的點N的坐標及該常數(shù).

Answer 1

【答案】（1）A（1，3）；（2）直線方程為，最短弦長為；（3）在直線MC上存在定點，使得為常數(shù)．

【解析】

（1）利用直線系方程的特征，直接求解直線過定點A的坐標；
（2）當AC⊥時，所截得弦長最短，由題知C（0，4），，求出AC的斜率，利用點到直線的距離，轉化求解即可；
（3）由題知，直線MC的方程為，假設存在定點N（，4）滿足題意，則設，，得，且，求出，然后求解比值.

解：（1）依題意得，，
令且，得，

∴直線過定點A（1，3）；
（2）當AC⊥時，所截得弦長最短，由題知C（0，4），，
，得，

∴由得，

此時直線方程為，
∴圓心到直線的距離為，
∴最短弦長為；
（3）由題知，直線MC的方程為，假設存在定點N（，4）滿足題意，
則設，，得，且，
，
，
整理得，，
∵上式對任意恒成立，
且，
解得 或（舍去，與M重合），
綜上可知，在直線MC上存在定點，使得為常數(shù).