Question

【題目】已知橢圓：的左焦點為，設是橢圓的兩個短軸端點，是橢圓的長軸左端點．

（Ⅰ）當時，設點，直線交橢圓于，且直線的斜率分別為，求的值；

（Ⅱ）當時，若經過的直線與橢圓交于兩點，O為坐標原點，求與的面積之差的最大值．

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（Ⅰ）由條件，不妨設，則直線的斜率為，…1分

所以直線的方程為，代入，得，

解得，所以，，……4分

所以． ………………5分

（Ⅱ）設與的面積分別為，

當直線的斜率不存在時，直線方程為，此時不妨設，則，的面積相等，即．………………6分

當直線的斜率存在時，設直線的方程為，設，

和橢圓方程聯立得，消掉得，………………7分

顯然，方程有實根，且．………………8分

此時．

因為，上式（當且僅當時等號成立），

所以的最大值為．………………12分

【命題意圖】本題考查橢圓的方程與幾何性質、直線斜率、直線與橢圓的位置關系，以及考查邏輯思維能

力、分析與解決問題的綜合能力、運算求解能力、方程思想與分類討論的思想．