Question

【題目】已知圓，是圓M內(nèi)一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P為圓M上任意一點(diǎn)，線段PN的垂直平分線l和半徑MP相交于點(diǎn)C.

（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；

（2）設(shè)直線與C交于不同兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)的面積S取最大值時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）根據(jù)幾何關(guān)系可知，即點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，由此可得橢圓方程；

（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得，利用韋達(dá)定理和弦長公式可得，又點(diǎn)O到直線l的距離，由此可得面積，再利用基本不等式即可求出結(jié)果.

（1）如圖，由幾何關(guān)系可得，，

即，所以點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)以M，N為焦點(diǎn)的橢圓，

由題意知，，則，，，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)，由得，

由韋達(dá)定理可得，，

點(diǎn)O到直線l的距離，

則

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，S取得最大值.