Question

在△ABC中，三個內角A、B、C的對邊分別為a、b、c，若

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

，試問A、B、C是否成等差數列，若不成等差數列，請說明理由．若成等差數列，請給出證明．

Answer 1

分析：先整理

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

得b²=a²+c²-ac．進而利用余弦定理求得cosB的值，進而求得B，進而根據三角形內角和可知A+C=2B判斷出A、B、C成等差數列．

解答：證明：A、B、C成等差數列，下面用綜合法給出證明：
∵

1

a+b

+

1

b+c

=

3

a+b+c

，
∴

a+b+c

a+b

+

a+b+c

b+c

=3，
∴

c

a+b

+

a

b+c

=1，
∴c（b+c）+a（a+b）=（a+b）（b+c），
∴b²=a²+c²-ac．
在△ABC中，由余弦定理，得
cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

ac

2ac

=

1

2

，
∵0°＜B＜180°∴B=60°．
∴A+C=2B=120°，
∴A、B、C成等差數列．

點評：本題主要考查了等差關系的確定，余弦定理的應用和解三角形問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．