Question

已知橢圓的中心在坐標原點，兩個焦點分別為，，點在橢圓 上，過點的直線與拋物線交于兩點，拋物線在點處的切線分別為，且與交于點.
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在滿足的點? 若存在，指出這樣的點有幾個（不必求出點的坐標）; 若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）. (2)滿足條件的點有兩個.

解析(1)試題分析：解法1：設橢圓的方程為,依題意:    
解得:         ∴ 橢圓的方程為.
解法2：設橢圓的方程為，根據橢圓的定義得，即， ∵，  ∴.   ∴ 橢圓的方程為.  
(2) 解法1：顯然直線的斜率存在，設直線的方程為，
由消去，得.  
設,則.  
由,即得.  
∴拋物線在點處的切線的方程為，即.
∵， ∴.  
同理,得拋物線在點處的切線的方程為.  
由解得 
∴.  ∵,
∴點在橢圓上.  ∴.
化簡得.(*) 由, 
可得方程(*)有兩個不等的實數根. ∴滿足條件的點有兩個.    
解法2：設點,，，由,即得.
∴拋物線在點處的切線的方程為，
即.∵， ∴ .
∵點在切線上,  ∴.       ①        
同理， . ② 綜合①、②得，點的坐標都滿足方程.∵經過