Question

欲修建一橫斷面為等腰梯形(如圖1)的水渠，為降低成本必須盡量減少水與渠壁的接觸面，若水渠橫斷面面積設(shè)計(jì)為定值S，渠深h，則水渠壁的傾角α(0°<α<90°)應(yīng)為多大時(shí)，方能使修建成本最低?

Answer 1

當(dāng)α=60°時(shí)，修建成本最低.

試題分析：作BE⊥DC于E(圖略)，在Rt△BEC中，BC=,CE=hcotα，又AB-CD=2CE=2hcotα,AB+CD=,故CD=-hcotα.
設(shè)y=AD+DC+BC,則y= (0°<α<90°)，由于S與h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，u可看作(0，2)與(-sinα,cosα)兩點(diǎn)連線的斜率，由于α∈(0°,90°),點(diǎn)(-sinα,cosα)在曲線x²+y²=1(-1<x<0,0<y<1)上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)過(0，2)的直線與曲線相切時(shí)，直線斜率最小，此時(shí)切點(diǎn)為(-，)，則有sinα=,且cosα=，那么α=60°，故當(dāng)α=60°時(shí)，修建成本最低.
點(diǎn)評(píng)：解決的關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)的定義表示邊長和長度，以及修建的成本，屬于中檔題。