Question

(12分)如圖，三棱柱ABC－A₁B₁C₁的所有棱長都為2，D為CC₁中點,平面ABC

（Ⅰ）求證：AB₁⊥平面A₁BD；
（Ⅱ）求二面角A－A₁D－B的余弦值；
（Ⅲ）求點C到平面A₁BD的距離.

Answer 1

（1）見解析（2）二面角的余弦值為．（3）．

解析試題分析：(1)證明線面垂直，根據其判定定理，只須證明AB₁垂直這個面內的兩條相交直線即可，本小題顯然應證：.
(2)利用空間向量法求二面角，先求出二面角兩個面的法向量，然后再利用求解即可.
(3)利用空間向量法點C到平面的距離根據來解即可.
（1）取中點，連結． 為正三角形，．
在正三棱柱中，  平面平面，平面．
取中點，以為原點，，，的方向為軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，

，，．
，，
，． 平面．
（2）設平面的法向量為．
，．，，
令得
由（1）知平面，為平面的法向量．
   二面角的余弦值為．
（3）由（2），為平面法向量，  ．
點到平面的距離．
考點：空間向量法證明線面垂直，求二面角，點到直線的距離，線面垂直的判定定理.
點評：掌握線線、線面、面面的平行與垂直判斷與性質是解決此類問題的前提.