Question

設a,b∈R，且a≠2,定義在區間（-b,b）內的函數f(x)=是奇函數.

（1）求b的取值范圍；

（2）討論函數f(x)的單調性.

Answer 1

（1）b的取值范圍是（0, ］（2）f(x)在（-b,b)內是減函數，具有單調性.

解析:

（1）f(x)=lg (-b＜x＜b)是奇函數等價于：

對任意x∈(-b,b)都有

①式即為=，由此可得

,也即a²x²=4x²,此式對任意x∈(-b,b)都成立相當于a²=4,因為a≠2,所以a=-2，代入②式，得＞0,即-＜x＜,此式對任意x∈(-b,b)都成立相當于-≤-b＜b≤,

所以b的取值范圍是（0, ］.

（2）設任意的x₁,x₂∈(-b,b)，且x₁＜x₂,

由b∈（0，］，得-≤-b＜x₁＜x₂＜b≤,

所以0＜1-2x₂＜1-2x₁,0＜1+2x₁＜1+2x₂,

從而f(x₂)-f(x₁)=

因此f(x)在（-b,b)內是減函數，具有單調性.