Question

（本題滿分14分）
如圖，已知橢圓=1(a＞b＞0)，F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上的頂點，直線AF₂交橢圓于另 一點B.

(1)若∠F₁AB=90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．

Answer 1

（1）e＝.（2）

試題分析：解：(1)若∠F₁AB＝90°，則△AOF₂為等腰直角三角形，所以有OA＝OF₂，
即b＝c.所以a＝c，e＝.
(2)由題知A(0，b)，F₁(－c,0)，F₂(c,0)，
其中，c＝，設B(x，y)．
由＝2?(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，
y＝，即B(，)．
將B點坐標代入，得，
即，
解得a²＝3c².①
又由·＝(－c，－b)·(，)＝
⇒b²－c²＝1，
即有a²－2c²＝1.②
由①，②解得c²＝1，a²＝3，從而有b²＝2.
所以橢圓方程為.
點評：解決的關鍵是根據橢圓的定義以及三角形的性質得到a,b,c的關系式，同時結合向量的數量積來秋季誒得到其方程，屬于基礎題。