Question

求下列極限：
（1）

lim

n→∞

2 n 2   +n+7

5n2+7

；
（2）

lim

n→∞

（

n2+n

-n）；
（3）

lim

n→∞

（

2

n2

+

4

n 2

+…+

2n

n2

）．

Answer 1

分析：（1）因為分子分母都無極限，故不能直接運用商的極限運算法則，可通過變形分子分母同除以n²后再求極限；
（2）因

n2+n

與n都沒有極限，可先分子有理化再求極限；
（3）因為極限的運算法則只適用于有限個數列，需先求和再求極限．

解答：解：（1）

lim

n→∞

2n2+n+7

5n2+7

=

lim

n→∞

2+ 1 n + 7 n2

5+ 7 n 2

=

2

5

．
（2）

lim

n→∞

（

n2+n

-n）=

lim

n→∞

n

n2+n +n

=

lim

n→∞

1

1+ 1 n +1

=

1

2

．
（3）原式=

lim

n→∞

2+4+6++2n

n2

=

lim

n→∞

n(n+1)

n2

=

lim

n→∞

（1+

1

n

）=1．

點評：首先對于（1）要避免下面兩種錯誤：①原式=

lim n→∞ (2n2+n+7)

lim n→∞ (5n2+7)

=

∞

∞

=1，②∵

lim

n→∞

（2n²+n+7），

lim

n→∞

（5n²+7）不存在，∴原式無極限．
對于（2）要避免出現下面兩種錯誤：
①

lim

n→∞

（

n2+n

-n）=

lim

n→∞

n2+n

-

lim

n→∞

n=∞-∞=0；②原式=

lim

n→∞

n2+n

-

lim

n→∞

n=∞-∞不存在．
對于（3）要避免出現原式=

lim

n→∞

2

n2

+

lim

n→∞

4

n2

+…+

lim

n→∞

2n

n2

=0+0+…+0=0這樣的錯誤．
此類題目有一定的計算量要多做分析．