Question

某工廠生產某種產品，已知該產品的月生產量x（噸）與每噸產品的價格P（元/噸）之間的關系式為P=24200-

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x2，且生產x噸的成本為R=50000+200x（元）．
（1）求該工廠月利潤L（元）關于月生產量x（噸）的函數關系式；（月利潤=月收入-月成本）
（2）求該工廠每月生產多少噸產品才能使月利潤達到最大？并求出最大利潤．

Answer 1

分析：（1）根據月利潤=月收入-月成本可知L=Px-R，代入解析式即可求出所求；
（2）利用導數研究函數的單調性，從而求出函數的最值時相應的x的值及其最值．

解答：解：（1）L=Px-R=（24200-

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x2）x-（50000+200x）
=-

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x3+24000x-50000（x＞0）
（2）y′=-

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x2+24000，
由y'=0，得x=200
∵0＜x＜200時y'＞0，y'＜0
∴當x=200時，y_max=3150000（元）
該工廠每月生產200噸產品才能使月利潤達到最，最大利潤為3150000．

點評：本題主要考查了建立數學模型，三次函數的最值用導數來求解，同時考查了應用題的閱讀能力，屬于中檔題．