Question

（2011•天津模擬）設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₁=a，a_n+1=ca_n+1-c（n∈N^*），其中a，c為實(shí)數(shù)，且c≠0．
（1）求證：a≠1時(shí)數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，并求a_n；
（2）設(shè)a=

1

2

c=

1

2

，bn=n(1-an)(n∈N*)，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（3）設(shè)a=

3

4

，c=-

1

4

，cn=

3+an

2-an

(n∈N*)，記dn=c2n-c2n-1(n∈N*)，設(shè)數(shù)列{d_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn＜

5

3

．

Answer 1

分析：（1）由a_n+1=ca_n+1-c可知 a_n+1-1=c（a_n-1）故a≠1時(shí)數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1公比為c的等比數(shù)列故可求出即  a_n=（a-1）c^n-1+1
（2）由（1）知bn=n(

1

2

)n則由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)知應(yīng)利用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和S_n
（3）由（1）知 cn=

3+an

2-an

= 4+ 

5

(-4)n-1

故可得d_n的表達(dá)式為dn=c2n-c2n-1=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

而要證明的結(jié)論為對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn＜

5

3

故d_n的表達(dá)式需要變形．而（16ⁿ-1）（16ⁿ+4）=（16ⁿ）²-3×16ⁿ-4故對(duì)所有的n都有（16ⁿ-1）（16ⁿ+4）=（16ⁿ）²-3×16ⁿ-4＞（16ⁿ）²故dn＜

25

16n

則可求證出Tn＜25×(

1

16

+

1

162

+…+

1

16n

)=

5

3

(1-

1

16n

)＜

5

3

解答：解：（1）∵a_n+1=ca_n+1-c
∴a_n+1-1=c（a_n-1）
∴a≠1時(shí)數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為a-1公比為c的等比數(shù)列
∴a_n-1=（a-1）c^n-1即a_n=（a-1）c^n-1+1
（2）由（1）得當(dāng)a=

1

2

，c=

1

2

時(shí)bn=n(

1

2

)n
∴sn=

1

2

+2(

1

2

)2+…+n(

1

2

)n
∴

1

2

sn=(

1

2

)2+…+n(

1

2

)2
        兩式作差得sn=

1-( 1 2 )2

1- 1 2

-n(

1

2

)n=2-

n+2

2n

（3）∵cn=

3+an

2-an

= 4+ 

5

(-4)n-1

∴dn=c2n-c2n-1=

25×16n

(16n-1)(16n+4)

=

25×16n

(16n)2+3×16n-4

＜

25×16n

(16n)2

=

25

16n

∴Tn＜25×(

1

16

+

1

162

+…+

1

16n

)=

5

3

(1-

1

16n

)＜

5

3

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了數(shù)列與不等式的綜合．第一問(wèn)需要將遞推關(guān)系式a_n+1=ca_n+1-c變形為 a_n+1-1=c（a_n-1）這是根據(jù)第一問(wèn)的要求變形的這也是平時(shí)做題的一個(gè)常用技巧“由果索因”．第二問(wèn)可以在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式在觀察其特征后采用錯(cuò)位相減法求前n項(xiàng)和因此第一問(wèn)的正確求解就顯得十分重要了．第三問(wèn)需要對(duì)數(shù)列{d_n}的通項(xiàng)公式進(jìn)行放縮，這一步技巧性較大需要平時(shí)的大量積累！