Question

（2011•天津模擬）設(shè)

OA

=(1，-2)，

OB

=(a，-1)，

OC

=(-b，0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A、B、C三點(diǎn)共線，則

1

a

+

2

b

的最小值是（　　）

A．2

B．4

C．6

D．8

Answer 1

分析：根據(jù)題意首先求出

AB

和

AC

的坐標(biāo)，再根據(jù)兩個(gè)向量共線的性質(zhì)得到2a+b=1，然后結(jié)合所求的式子的結(jié)構(gòu)特征利用基本不等式求出其最小值．

解答：解：由題意可得：

OA

=（1，-2），

OB

=（a，-1），

OC

=（-b，0），
所以

AB

=

OB

-

OA

=（a-1，1），

AC

=

OC

-

OA

=（-b-1，2）．
又∵A、B、C三點(diǎn)共線，
∴

AB

∥

AC

，從而（a-1 ）×2-1×（-b-1）=0，
∴可得2a+b=1．
又∵a＞0，b＞0
∴

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）•（2a+b）=4+（

b

a

+

4a

b

）≥4+4=8
故

1

a

+

2

b

的最小值是8．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握向量共線與點(diǎn)共線之間的關(guān)系，以及兩個(gè)向量共線時(shí)坐標(biāo)形式的運(yùn)算公式，考查基本不等式的應(yīng)用，此題得到2a+b=1是解題的關(guān)鍵．