Question

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數在區間上存在兩個不同零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2).

【解析】

試題分析：（1）先求導數，再根據a討論導函數零點，根據導函數零點情況討論導函數符號，根據導函數符號確定函數單調性，（2）先分離，再利用導數研究函數單調性，最后根據圖像確定存在兩個不同零點的條件，解對應不等式得實數的取值范圍.

試題解析：（1）∵

①若時，，此時函數在上單調遞增；

②若時，又得：

時，此時函數在上單調遞減；

當時，此時函數在上單調遞增；

（2）由題意知：在區間上有兩個不同實數解，

即函數圖像與函數圖像有兩個不同的交點，

因為，令得：

所以當時，，函數在上單調遞減

當時，，函數在上單調遞增；

則，而，且，

要使函數圖像與函數圖像有兩個不同的交點，

所以的取值范圍為.