Question

【題目】已知函數．

（1）當函數在內有且只有一個極值點，求實數的取值范圍；

（2）若函數有兩個不同的極值點，求證：．

Answer 1

【答案】（1） ；（2）見詳解；

【解析】

（1）由題可求得，，所以，所以時，，為增函數，結合題意，得出，即可求出實數的取值范圍；

（2）由于函數有2個不同的極值點，轉化為：在區間上有兩個不相等的實數根，根據一元二次方程的性質，求出，寫出韋達定理，，得出，構造新函數，，通過求新函數的導數求出的單調性，從而求出最值，即可證明出.

解：（1），

可知的定義域為，

，

又，

當時，，為增函數，

在內有且只有一個極值點，

，即，解得：，

則實數的取值范圍為，

（2）由于函數有2個不同的極值點，

則在區間上有兩個不相等的實數根，

即：方程在上有兩個不相等的實數根，

令，可知，

則，即，解得：.

且，，

所以，，

，

令，，

則，，

再令，，

由于，則，對稱軸為：，

得：，

可知， ，，而，

則時，，單調遞增；

時，，單調遞減；

而，

由于，且，

解得：，

所以，

即。