Question

對于定義域為G的函數f（x），如果同時滿足下列兩個條件：①f（x）在G內是單調函數；②存在區間[a，b]⊆G，使f（x）在[a，b]上的值域亦為[a，b]，那么就稱f（x）為好函數．
（Ⅰ）判斷函數f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上是否為好函數？并說明理由；
（Ⅱ）求好函數f（x）=-x³+1符合條件的一個區間[a，b]；
（Ⅲ）若函數f（x）=m+

x+2

是好函數，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）求出函數的導函數，由f′（e）＜0，f′（1）＞0，可得f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上不是單調函數，再由好函數的定義，可得結論
（Ⅱ）由f（x）=-x³+1在[a，b]上減函數，可得f（a）=b，f（b）=a，即

b=-a3+1 a=-b3+1

且a＜b，解方程組求出a，b值可得符合條件的區間[a，b]；
（III）利用導數法可得f（x）=m+

x+2

在[-2，+∞）上為增函數，若函數f（x）=m+

x+2

是好函數，則

a=m+ a+2 b=m+ b+2

，即a，b是方程x=m+

x+2

的兩個相異實根，即

x2-(2m+1)x+m2-2=0 x≥-2 x≥m

兩個相異實根，令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2，分m≤-2時，和m＞-2時兩種情況討論m的取值范圍，最后綜合討論結果可得答案．

解答：解：（Ⅰ）∵函數f（x）=

lnx

ex

+1
∴f′（x）=

ex x -ex•lnx

e2x

=

ex•( 1 x -lnx)

e2x

    …（1分）
又∵f′（e）＜0，f′（1）＞0，
∴f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上不是單調函數…（1分）
∴f（x）=

lnx

ex

+1在（0，+∞）上不是好函數 …（1分）
（Ⅱ）∵f（x）=-x³+1在[a，b]上減函數
∴f（x）的最大值為f（a），最小值為f（b）
故函數f（x）的值域為[f（b），f（a）]…（1分）
∴f（a）=b，f（b）=a
即

b=-a3+1 a=-b3+1

且a＜b                 …（1分）
∴解得a=0，b=1，故符合條件的一個閉區間為[0，1]…（1分）
（Ⅲ）∵f（x）=m+

x+2

是好函數，
∴存在區間[a，b]⊆[-2，+∞），使f（x）=m+

x+2

在[a，b]上的值域亦為[a，b]…（1分）
∵f′（x）=

1

2 x+2

＞0恒成立
故f（x）=m+

x+2

在[-2，+∞）上為增函數
∴

a=m+ a+2 b=m+ b+2

∴a，b是方程x=m+

x+2

的兩個相異實根，且a＜b
由x=m+

x+2

得：x²-（2m+1）x+m²-2=0
故

x2-(2m+1)x+m2-2=0 x≥-2 x≥m

兩個相異實根
令f（x）=x²-（2m+1）x+m²-2
（ⅰ）當m≤-2時，可得

2m+1 2 ＞-2 △=(2m+1)2-4(m2-2)＞0 g(-2)=22+2(2m+1)+m2-2≥0

解得：m＞-

9

4

∴-

9

4

＜m≤-2                           …（2分）

（ⅱ）當m＞-2時，

2m+1 2 ＞m △=(2m+1)2-4(m2-2)＞0 g(m)=2=m2+m(2m+1)+m2-2≥0

解得-

9

4

＜m≤-2，不符合題意
故綜上，m的取值范圍為-

9

4

＜m≤-2        …（2分）
【注】：對（Ⅲ），若不討論但答案對，則扣（2分）．

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，函數與方程的綜合應用，正確理解“好函數”的定義，并能根據定義，歸納整理解答相關問題的方法和步驟是解答的關鍵．