Question

對于定義域為D的函數y=f（x），如果存在區間[m，n]⊆D，同時滿足：
①f（x）在[m，n]內是單調函數；
②當定義域是[m，n]時，f（x）的值域也是[m，n]．
則稱[m，n]是該函數的“和諧區間”．
（1）證明：[0，1]是函數y=f（x）=x²的一個“和諧區間”．
（2）求證：函數y=g(x)=3-

5

x

不存在“和諧區間”．
（3）已知：函數y=h(x)=

(a2+a)x-1

a2x

（a∈R，a≠0）有“和諧區間”[m，n]，當a變化時，求出n-m的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據二次函數的性質，我們可以出y=f（x）=x²在區間[0，1]上單調遞增，且值域也為[0，1]滿足“和諧區間”的定義，即可得到結論．
（2）該問題是一個確定性問題，從正面證明有一定的難度，故可采用反證法來進行證明，即先假設區間[m，n]為函數的“和諧區間”，然后根據函數的性質得到矛盾，進而得到假設不成立，原命題成立．
（3）設[m，n]是已知函數定義域的子集，我們可以用a表示出n-m的取值，轉化為二次函數的最值問題后，根據二次函數的性質，可以得到答案．

解答：解：（1）∵y=x²在區間[0，1]上單調遞增．（2分）
又f（0）=0，f（1）=1，∴值域為[0，1]，∴區間[0，1]是y=f（x）=x²的一個“和諧區間”．（4分）
（2）設[m，n]是已知函數定義域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），
故函數y=3-

5

x

在[m，n]上單調遞增．
若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則

g(m)=m g(n)=n

（8分）
故m、n是方程3-

5

x

=x的同號的相異實數根．∵x²-3x+5=0無實數根，∴函數y=3-

5

x

不存在“和諧區間”．（10分）
（3）設[m，n]是已知函數定義域的子集．∵x≠0，[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），故函數y=

(a2+a)x-1

a2x

=

a+1

a

-

1

a2x

在[m，n]上單調遞增．
若[m，n]是已知函數的“和諧區間”，則

h(m)=m h(n)=n

（14分）
故m、n是方程

a+1

a

-

1

a2x

=x，即a²x-（a²+a）x+1=0的同號的相異實數根．∵mn=

1

a2

＞0，∴m，n同號，只須△=a²（a+3）（a-1）＞0，即a＞1或a＜-3時，已知函數有“和諧區間”[m，n]，∵n-m=

(n+m)2-4mn

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，∴當a=3時，n-m取最大值

2 3

3

（18分）

點評：本題考查的知識點是函數的單調性的性質，（2）中的確定性問題，要注意建立“正難則反”的思想，選擇反證法來簡化證明過程．