Question

已知函數，
（Ⅰ）求的單調區間和值域；
（Ⅱ）設，函數，若對于任意，總存在使得成立，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）的單調遞減區間為，的單調遞增區間為，
的值域為[-4，-3]
（Ⅱ）

【錯解分析】利用導數求函數的單調區間仍然要樹立起定義域優先的意識，同時要培養自已的求導及解不
等式的運算能力。第（Ⅱ）問要注意將問題進行等價轉化即轉化為函數在區間上的值域
是函數的值域的子集，從而轉化為求解函數在區間上的值域。
【正解】(Ⅰ) ，令解得或,在，所以為單調遞減函數；在，所以為單調遞增函數；又，即的值域為[-4，-3]，所以的單調遞減區間為，的單調遞增區間為，的值域為[-4，-3].( 單調區間為閉區間也可以).
（Ⅱ）∵,又，當時，，
因此，當時，為減函數，從而當時，有.
又，即當時，有，
任給，有，存在使得，
則又，所以的取值范圍是。
【點評】高考對導數的考查定位于作為解決初等數學問題的工具出現，側重于考查導數在函數與解析幾何中的應用，主要有以下幾個方面：①運用導數的有關知識，研究函數最值問題，一直是高考長考不衰的熱點內容．另一方面，從數學角度反映實際問題，建立數學模型，轉化為函數的最大值與最小值問題，再利用函數的導數，順利地解決函數的最大值與最小值問題，從而進一步地解決實際問題．用導數研究函數的性質比用初等方法研究要方便得多，單調區間的求解過程，已知 （1）分析 的定義域； （2）求導數 （3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間，對于函數單調區間的合并:函數單調區間的合并主要依據是函數在單調遞增，在單調遞增，又知函數在處連續，因此在單調遞增。同理減區間的合并也是如此，即相鄰區間的單調性相同，且在公共點處函數連續，則二區間就可以合并為以個區間。