Question

已知圓錐曲線C經過定點P（3，），它的一個焦點為F（1，0），對應于該焦點的準線為x=-1，斜率為2的直線l交圓錐曲線C于A、B兩點，且|AB|=，求圓錐曲線C和直線?的方程．

Answer 1

【答案】分析：利用拋物線的定義，可得拋物線方程，直線方程代入拋物線方程，利用韋達定理及弦長公式，即可求得直線方程．
解答：解：∵圓錐曲線的一個焦點為F（1，0），對應于該焦點的準線為x=-1，
∴圓錐曲線C是焦點為F（1，0）的拋物線，且p=2
∴拋物線方程為y²=4x；…（3分）
設?的方程為y=2x+b，A（x₁y₁），B（x₂，y₂）
由y=2x+b代入y²=4x，消去y，整理得：4x²+4（b-1）x+b²=0…（4分）
則x₁+x₂=-（b-1），x₁x₂=…（5分）
∴|AB|=…（6分）
又∵|AB|=，∴1-2b=9，∴b=-4 …（7分）
故直線?的方程為y=2x-4…（8分）
綜上所述：圓錐曲線C的方程為y²=4x，直線?的方程為y=2x-4…（10分）
點評：本題考查拋物線的定義，考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查弦長的計算，屬于中檔題．