Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，△PAD為正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB＝2AD＝4.

(1)求證：平面PCD⊥平面PAD；

(2)求三棱錐P—ABC的體積；

(3)在棱PC上是否存在點E，使得BE∥平面PAD？若存在，

請確定點E的位置并證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析．

【解析】分析：（1）先根據面面垂直性質定理得CD⊥平面PAD，再根據面面垂直判定定理得結果，（2）取AD的中點O，根據面面垂直性質定理得PO⊥平面ABCD，即PO為三棱錐P—ABC的高，最后根據三棱錐體積公式得結果，(3)先探索得 E為PC的中點，取CP，CD的中點E，F，利用平幾知識得四邊形ABFD為平行四邊形，即得BF∥AD,再根據線面平行判定定理得結論.

詳解：(1)證明　因為AB∥CD，AB⊥AD，所以CD⊥AD.

因為平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面PAD.

因為CD平面PCD，

所以平面PCD⊥平面PAD.

(2)解　取AD的中點O，

連接PO.

因為△PAD為正三角形，

所以PO⊥AD.

因為平面PAD⊥平面ABCD，

平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO平面PAD，

所以PO⊥平面ABCD，

所以PO為三棱錐P—ABC的高．

因為△PAD為正三角形，CD＝2AB＝2AD＝4，

所以PO＝.

所以V三棱錐P—ABC＝S△ABC·PO

＝××2×2×＝.

(3)解　在棱PC上存在點E，當E為PC的中點時，

BE∥平面PAD.

分別取CP，CD的中點E，F，連接BE，BF，EF，

所以EF∥PD.因為AB∥CD，CD＝2AB，

所以AB∥FD，AB＝FD，

所以四邊形ABFD為平行四邊形，

所以BF∥AD.

因為BF∩EF＝F，AD∩PD＝D，

所以平面BEF∥平面PAD.

因為BE平面BEF，

所以BE∥平面PAD.