Question

如圖所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，H是正方形AA₁B₁B的中心AA1=2

2

，C1H⊥平面AA₁B₁B且C1H=

5

．
（1）求異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值；
（2）求二面角A-A₁C₁-B₁的正弦值．

Answer 1

分析：（1）通過建立空間直角坐標系，利用異面直線的方向向量的夾角即可得出；
（2）先求出兩個平面的法向量的夾角即可得出二面角的余弦值．

解答：解：如圖所示，建立空間直角坐標系，點B為坐標原點．
依題意得A(2

2

，0，0)，B（0，0，0），C(

2

，-

2

，

5

)，A1(2

2

，2

2

，0)，
B1(0，2

2

，0)，C1(

2

，

2

，

5

)．
（1）易得

AC

=(-

2

，-

2

，

5

)，

A1B1

=(-2

2

，0，0)
于是cos＜

AC

，

A1B1

＞=

AC • A1B1

| AC | | A1B1|

=

4

3×2 2

=

2

3

．
∴異面直線AC與A₁B₁所成角的余弦值為

2

3

．
（2）易知

AA1

=(0，2

2

，0)，

A1C1

=(-

2

，-

2

，

5

)．
設平面AA₁C₁的法向量

m

=(x，y，z)，則

m • A1C1 =0 m • AA1 =0

，即

- 2 x- 2 y+ 5 z=0 2 2 y=0

，
不妨令x=

5

，則z=

2

，可得

m

=(

5

，0，

2

)．
同樣可設面A₁B₁C₁的法向量

n

=(x1，y1，z1)，得

n

=(0，

5

，

2

)．
于是cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m | | n |

=

2

7 7

=

2

7

，∴sin＜

m

，

n

＞=

3 5

7

．
∴二面角A-A₁C-B₁的正弦值為

3 5

7

．

點評：熟練掌握通過建立空間直角坐標系并利用異面直線的方向向量的夾角求異面直線所成的角、兩個平面的法向量的夾角求二面角的方法是解題的關鍵．