Question

【題目】如圖，D是AC的中點，四邊形BDEF是菱形，平面平面ABC，，，．

若點M是線段BF的中點，證明：平面AMC；

求平面AEF與平面BCF所成的銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接，. .由四邊形為菱形，可證.由平面平面，可證平面.即可證明平面；

2）設線段的中點為，連接.易證平面.以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.求出相應點及向量的坐標，求得平面，平面的法向量，.。利用空間向量夾角公式可求得平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

試題解析：

（1）連接，∵四邊形為菱形，且，

∴為等邊三角形.

∵為的中點，∴.

∵，，又是的中點，

∴.

∵平面平面，平面平面，平面，

∴平面.

又平面，∴.

由，，，

∴平面.

（2）設線段的中點為，連接.易證平面.以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，，.

∴，，，.

設平面，平面的法向量分別為，.

由 .

解得.

取，∴.

又由 解得.

取，∴.

∵ .

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.