Question

已知函數f（x）=x²+2ax+2，x∈[-5，5]
（1）當a=-1時，求函數的最大值和最小值；
（2）求實數a的取值范圍，使y=f（x）在區間[-5，5]上是單調函數．
（3）求函數f（x）的最小值g（a），并求g（a）的最大值．

Answer 1

分析：（1）當a=-1時，函數f（x）=（x-1）²+1，再利用二次函數的性質求得函數在[-5，5]上的最值．
（2）根據y=f（x）的對稱軸為x=-a，且在區間[-5，5]上是單調函數，可得-a≤-5，或-a≥5，由此求得a的范圍．
（3）由于y=f（x）=（x+a）²+2-a² 的對稱軸為x=-a，再根據對稱軸和區間的關系分類討論，根據函數的單調性求得g（a）的解析式，從而求得g（a）的最大值．

解答：解：（1）當a=-1時，函數f（x）=x²+2ax+2=x² -2x+2=（x-1）²+1，
再由x∈[-5，5]，可得當x=1時，函數取得最小值為1，當x=-5時，函數取得最大值為37．
（2）∵y=f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的對稱軸為x=-a，
且在區間[-5，5]上是單調函數，可得-a≤-5，或-a≥5．
解得a≥5，或 a≤-5，故a的范圍為[5，+∞）∪（-∞，-5]．
（3）由于y=f（x）=x²+2ax+2=（x+a）²+2-a² 的對稱軸為x=-a，
故當-5≤-a≤5時，即-5≤a≤5時，f（x）在區間[-5，5]上最小值g（a）=2-a²．
當-a＜-5時，即a＞5時，由于f（x）在區間[-5，5]上單調遞增，g（a）=f（-5）=27-10a，
當-a＞5時，即a＜-5時，由于f（x）在區間[-5，5]上單調遞減，g（a）=f（5）=27+10a．
綜上，g（a）=

27+10a ， a＜-5 2-a2 ， -5≤a≤5 27-10a ， a＞5

．
當a＜-5時，g（a）＜-23； 當-5≤a≤5 時，-23≤g（a）≤2；當a＞5時，g（a）＜-23．
綜合可得，g（a）的最大值為2，此時，a=0．

點評：本題主要考查求二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．