Question

【題目】如圖，在三棱錐PABC中，底面ABC，，，，D，E分別是AC，PC的中點，F是PB上一點，且，M為PA的中點，二面角的大小為45°.

（1）證明：平面AEF；

（2）求直線AF與平面BCM所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）連接PD交AE于點O，因為D，E分別是AC，PC的中點，則點O是的重心，所以，連接OF，又，所以，從而可證明結論.
（2）由題意可證得即二面角的平面角，即，可得，則，得到，又由題意易知，CA，CB，CP兩兩垂直，故以C為坐標原點，直線CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，用向量法求解線面角.

解：（1）連接PD交AE于點O，因為D，E分別是AC，PC的中點，

所以點O是的重心，所以.

連接OF，又，所以，則.

又平面AEF，平面AEF，所以平面AEF.

（2）因為底面ABC，平面ABC，所以.又，，

所以平面PAC.所以，又，所以即二面角的平面角，

所以，連接MD，易得，則，所以.

由題意易知，CA，CB，CP兩兩垂直，故以C為坐標原點，直線CA，CB，CP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，

所以，，

所以，，.

設平面BCM的法向量為，則，得，得，

令，則，所以為平面BCM的一個法向量.

設直線AF與平面BCM所成的角為.

則

故直線AF與平面BCM所成角的正弦值為.