Question

設雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的離心率e=

2 3

3

，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為

3

2

．
（1）求雙曲線方程；
（2）直線y=kx+5（k≠0）與雙曲線交于不同的兩點C、D，且C、D兩點都在以A為圓心的同一個圓上，求k值．

Answer 1

分析：（1）設直線AB的方程為bx-ay-ab=0進而表示出原點O到直線AB的距離求得ab和c的關系，進而根據離心率和a，b和c的關系建立方程組求得a和b，則雙曲線方程可得．
（2）直線方程與雙曲線方程聯立消去y，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點M（x₀，y₀），根據|AC|=|AD|判斷出M在CD的中垂線AM上，進而求得x₀和y₀的表達式，代入直線AM的方程中求得k．

解答：解：（1）設直線AB的方程為bx-ay-ab=0，
又原點O到直線AB的距離

ab

a2+b2

=

3

2

∴ab=

3

2

c
進而有

ab= 3 2 c c a = 2 3 3 a2+b2=c2

解得a=

3

，b=1
∴雙曲線方程為

x2

3

-y2= 1
（2）由

y=kx+5 x2 3 -y2= 1

消去y，（1-3k²）x²-30kx-78=0
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點M（x₀，y₀），
∵|AC|=|AD|，∴M在CD的中垂線AM上，
∴x₀=

x1+x2

2

=

15k

1-3k2

，y₀=kx₀+5=

5

1-3k2

l_AM：y+1=-

1

k

x，
∴

5

1-3k2

+1=-

1

k

15k

1-3k2

，整理解得k=±

7

點評：本題主要考查了雙曲線的標準方程．考查了學生綜合分析問題的能力和運算能力．