Question

【題目】如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點．

（1）求證：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求證：二面角C﹣PB﹣A的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：如圖，

由AB是圓的直徑，得AC⊥BC．

由PA⊥平面ABC，BC平面ABC，得PA⊥BC．

又PA∩AC=A，PA平面APC，AC平面PAC，

所以BC⊥平面PAC．

因為BC平面PBC，

所以平面PAC⊥平面PBC；

（2）解：過C作CM⊥AB于M，

因為PA⊥平面ABC，CM平面ABC，所以PA⊥CM，

故CM⊥平面PAB．

過M作MN⊥PB于N，連接NC．

由三垂線定理得CN⊥PB．

所以∠CNM為二面角C﹣PB﹣A的平面角．

在Rt△ABC中，由AB=2，AC=1，得 ， ， ．

在Rt△ABP中，由AB=2，AP=1，得 ．

因為Rt△BNM∽Rt△BAP，所以 ．

故MN= ．

又在Rt△CNM中， ．故cos ．

所以二面角C﹣PB﹣A的余弦值為 ．

【解析】（1）要證平面PAC⊥平面PBC，只要證明平面PBC經過平面PAC的一條垂線BC即可，利用題目給出的條件借助于線面垂直的判定定理能夠證明BC⊥平面PAC（2）因為平面PAB和平面ABC垂直，只要在平面ABC內過C作兩面的交線AB的垂線，然后過垂足再作PB的垂線，連結C和后一個垂足即可得到二面角C﹣PB﹣A的平面角，然后在作出的直角三角形中通過解直角三角形即可求得二面角C﹣PB﹣A的余弦值．
【考點精析】通過靈活運用平面與平面垂直的判定，掌握一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直即可以解答此題．