【題目】在四棱錐
中，平面
平面
，底面為梯形，
，
且
（Ⅰ）求證：
；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）若M是棱PA的中點，求證：對于棱BC上任意一點F，MF與PC都不平行.
【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）
； （Ⅲ）見解析.
【解析】
（Ⅰ）利用平面和平面垂直得到線面垂直；
（Ⅱ）利用空間向量求解法向量，從而計算出二面角；
（Ⅲ）利用反證法或者向量求解.
（Ⅰ）在平面
中過點
作
，交
于
因為平面
平面
平面
平面
平面
所以
平面
因為
平面
所以
又
，且
所以
平面
（Ⅱ）因為平面，所以
又
，
以為原點，
所在直線分別為
軸，建立空間直角坐標系
所以
，
因為平面，所以取平面的法向量為
設平面
的法向量為
因為
，所以
所以
令
，則
，所以
所以
由題知
為銳角，所以的余弦值為
（Ⅲ）
法一：
假設棱
上存在點
，使得
，顯然與點
不同
所以
四點共面于
所以
，
所以
，
所以就是點
確定的平面，所以
這與
為四棱錐矛盾，所以假設錯誤，即問題得證
法二：
假設棱上存在點，使得
連接
，取其中點
在
中，因為
分別為
的中點，所以
因為過直線外一點只有一條直線和已知直線平行，所以
與
重合
所以點在線段上，所以是，的交點，即就是
而與相交，矛盾，所以假設錯誤，問題得證
法三：假設棱上存在點，使得，
設
，所以
因為，所以
所以有
，這個方程組無解
所以假設錯誤，即問題得證
尖子生新課堂課時作業系列答案
英才計劃同步課時高效訓練系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
。
（1）當
時，求函數
在點
處的切線方程；
（2）若函數
，討論函數
的單調性；
（3）若（2）中函數有兩個極值點
，且不等式
恒成立，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在極坐標系中，曲線C1的極坐標方程是
，在以極點為原點O，極軸為x軸正半軸（兩坐標系取相同的單位長度）的直角坐標系xOy中，曲線C2的參數方程為
（θ為參數）.
（1）求曲線C1的直角坐標方程與曲線C2的普通方程；
（2）將曲線C2經過伸縮變換
后得到曲線C3，若M，N分別是曲線C1和曲線C3上的動點，求|MN|的最小值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某人從上一層到二層需跨10級臺階. 他一步可能跨1級臺階，稱為一階步，也可能跨2級臺階，稱為二階步，最多能跨3級臺階，稱為三階步. 從一層上到二層他總共跨了6步，而且任何相鄰兩步均不同階. 則他從一層到二層可能的不同過程共有（ ）種.
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2018年國際象棋奧林匹克團體賽中國男隊、女隊同時奪冠.國際象棋中騎士的移動規則是沿著3×2格或2×3格的對角移動.在歷史上，歐拉、泰勒、哈密爾頓等數學家研究了“騎士巡游”問題：在
格的黑白相間的國際象棋棋盤上移動騎士，是否可以讓騎士從某方格內出發不重復地走遍棋盤上的每一格？
圖（一）給出了騎士的一種走法，它從圖上標1的方格內出發，依次經過標2,3,4,5,6，
，到達標64的方格內，不重復地走遍棋盤上的每一格，又可從標64的方格內直接走回到標1的方格內.如果騎士的出發點在左下角標50的方格內，按照上述走法，_____（填“能”或“不能”）走回到標50的方格內.
若騎士限制在圖（二）中的3×4=12格內按規則移動，存在唯一一種給方格標數字的方式，使得騎士從左上角標1的方格內出發，依次不重復經過2,3,4,5,6,,到達右下角標12的方格內，分析圖（二）中A處所標的數應為____.
35 | 38 | 27 | 16 | 29 | 42 | 55 | 18 |
26 | 15 | 36 | 39 | 54 | 17 | 30 | 43 |
37 | 34 | 13 | 28 | 41 | 32 | 19 | 56 |
14 | 25 | 40 | 33 | 20 | 53 | 44 | 31 |
63 | 12 | 21 | 52 | 1 | 8 | 57 | 46 |
24 | 51 | 64 | 9 | 60 | 45 | 2 | 5 |
11 | 62 | 49 | 22 | 7 | 4 | 47 | 58 |
50 | 23 | 10 | 61 | 48 | 59 | 6 | 3 |
圖（一）
1 | |||
A | |||
3 | 12 |
圖（二）
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