Question

（選做題）（幾何證明選講）如圖，正△ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，直線MN與△ABC的外接圓的交點(diǎn)為P、Q，則線段PM=

 

．

Answer 1

分析：設(shè)出要求的線段的長(zhǎng)是x，則QN也是x，根據(jù)兩條弦相交，利用相交弦定理寫(xiě)出乘積式，把設(shè)出的變量和已知的線段代入，利用二次方程的求根公式得到結(jié)果．

解答：解：設(shè)PM=x，則QN=x，
∵點(diǎn)M，N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，
∴MN=

1

2

BC=1
∵PQ與AM是兩條相交弦，
由相交弦定理可得PM•MQ=BM•MA
∴x•(x+1)=1?x=

5 -1

2

．
故答案為：

5 -1

2

點(diǎn)評(píng)：本題考查相交弦定理的應(yīng)用，是一個(gè)基礎(chǔ)題，本題解題的關(guān)鍵是設(shè)出變量，看出要用到變量與已知線段之間的關(guān)系．