Question

已知點A（-1，2）是拋物線C：y=2x²上的點，直線l₁過點A，且與拋物線C相切，直線l₂：x=a（a≠-1）交拋物線C于點B，交直線l₁于點D．
（1）求直線l₁的方程；
（2）設△BAD的面積為S₁，求|BD|及S₁的值；
（3）設由拋物線C，直線l₁，l₂所圍成的圖形的面積為S₂，求證：S₁：S₂的值為與a無關的常數．

Answer 1

分析：（1）由y=2x²，得y′=4x．當x=-1時，y'=-4．由此能求出l₁的方程．
（2）由

y=2x2 x=a

，得：B點坐標為（a，2a²）．由

x=a 4x+y+12=0

，得D點坐標（a，-4a-2）．點A到直線BD的距離為|a+1|．由此能求出|BD|及S₁的值．
（3）當a＞-1時，S₁=（a+1）³，S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx=

2

3

(a+1)3．S₁：S₂=

3

2

．當a＜-1時，S₁=-（a+1）³，S₂=∫_a^-1[2x²-（-4x-2）]dx=∫_a^-1（2x²+4x+2）dx=-

2

3

(a+1)3．S₁：S₂=

3

2

，綜上可知S₁：S₂的值為與a無關的常數，這常數是

3

2

．

解答：解：（1）由y=2x²，得y′=4x．當x=-1時，y'=-4．（2分）
∴l₁的方程為y-2=-4（x+1），即y=-4x-2．（3分）
（2）由

y=2x2 x=a

，得：B點坐標為（a，2a²）．（4分）
由

x=a 4x+y+2=0

，得D點坐標（a，-4a-2）．（5分）
∴點A到直線BD的距離為|a+1|．（6分）
|BD|=2a²+4a+2=2（a+1）²
∴S₁=|a+1|³．（7分）
（3）當a＞-1時，S₁=（a+1）³，（8分）
S₂=∫_-1^a[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_-1^a（2x²+4x+2）dx
=(

2

3

x3+2x2+2x)

|

a -1

=

2

3

(a+1)3．（9分）
∴S₁：S₂=

3

2

．（11分）
當a＜-1時，S₁=-（a+1）³
S₂=∫_a^-1[2x²-（-4x-2）]dx
=∫_a^-1（2x²+4x+2）dx
=-

2

3

(a+1)3．（13分）
∴S₁：S₂=

3

2

，綜上可知S₁：S₂的值為與a無關的常數，這常數是

3

2

．（14分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與雙曲線的相關知識，解題時要注意雙曲線的性質、導數、定積分的靈活運用，合理地進行等價轉化．