Question

點M為橢圓

x2

9

+

y2

5

=1上一點，設點M到橢圓的右準線的距離為d，已知點A（-1，2），則3|AM|+2d的最大值為

18+3

5

．

Answer 1

分析：利用橢圓的第一定義和第二定義、三角形三邊之間的大小關系等即可得出．

解答：解：如圖所示，
由橢圓

x2

9

+

y2

5

=1可得：a²=9，b²=5，c=

a2-b2

=2．
∴e=

c

a

=

2

3

．
設橢圓的左右焦點分別為F′（-2，0），F（2，0）．
由橢圓的第二定義可得：

|MF|

d

=e=

2

3

，∴|MF|=

2

3

d．
又|MF|+|MF′|=2a，|AM|-|MF′|≤|AF′|，|AF′|=

(-1+2)2+22

=

5

．
∴3|AM|+2d=3(|AM|+

2

3

d)=3（|AM|+|MF|）
=3（|AM|+2a-|MF′|）≤3（|AF′|+6）=18+3

5

．
故答案為18+3

5

．

點評：熟練掌握橢圓的第一定義和第二定義、三角形三邊之間的大小關系及其轉化方法等是解題的關鍵．