Question

【題目】設函數，，

（1）求曲線過原點的切線方程；

（2）設，若函數的導函數存在兩個不同的零點，，求實數的范圍：

（3）在（2）的條件下證明：

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.

【解析】

（1）利用導數的幾何意義求出直線斜率，點斜式即可求出直線方程；

（2）函數存在兩個不同的零點，轉化為一元二次方程有兩個不同的正根，利用方程根的分布即可求解；

（3）化簡，構造函數，利用導數求其最小值即可求證.

（1）設切點坐標為，

所以.

所以切線方程為.

又因為切線過原點，所以

所以，所以

故所求切線方程為.

（2）∵

∴

因為函數的導函數存在兩個不同的零點，，

所以方程有兩個不同的正根，，

所以

解得.

（3）由，得，則由已知，

∵，

∴

∴

設函數

所以

所以在區間上單調遞減

所以