Question

[選做題]本題包括A、B、C、D共4小題，請從這4小題中選做2小題，每小題10分，共20分．
A．如圖，AD是∠BAD的角平分線，⊙O過點A且與BC邊相切于點D，與AB，AC分別交于E、F兩點．求證：EF∥BC．
B．已知M=

.

1 -2 3 -7

.

，求M^-1．
C．已知直線l的極坐標方程為θ=

π

4

（ρ∈R），它與曲線C

x=1+2cosα y=2+2sinα

（α為參數）相較于A、B兩點，求AB的長．
D．設函數f（x）=|x-2|+|x+2|，若不等式|a+b|-|4a-b|≤|a|，f（x）對任意a，b∈R，且a≠0恒成立，求實數x的取值范圍．

Answer 1

分析：A．證明EF∥BC，只要證明內錯角相等，即∠DEF=∠EDB即可；
B．設出M的逆矩陣，利用MM^-1=E，建立等式，由此可求矩陣的逆矩陣；
C．直線l的極坐標方程化為直角坐標方程，曲線C

x=1+2cosα y=2+2sinα

（α為參數）化為普通方程，求出圓心到直線y=x的距離，即可求出弦長；
D．利用絕對值不等式的性質，再將|a+b|-|4a-b|≤|a|f（x）對任意a，b∈R，且a≠0恒成立，轉化為f（x）≥5，即可確定
x的取值范圍．

解答：A．證明：連接DE，可得∠DEF=∠DAC
∵AD是∠BAC的平分線
∴∠EAD=∠EDB
∴∠DEF=∠EDB
∴EF∥BC
B．設M^-1=

a b c d

，依題意，有

a b c d

1 -2 3 -7

=

1 0 0 1

∴

a+3b -2a-7b c+3d -2c-7d

=

1 0 0 1

∴

a+3b=1 -2a-7b=0 c+3d=0 -2c-7d=1

∴

a=7 b=-2 c=3 d=-1

∴M-1=

7 -2 3 -1

C．直線l的極坐標方程為θ=

π

4

（ρ∈R）的直角坐標方程為y=x，曲線C

x=1+2cosα y=2+2sinα

（α為參數）的普通方程為（x-1）²+（y-2）²=4，所以圓心（1，2）到直線y=x的距離d=

|1-2|

2

=

2

2

∴AB=2

4- 1 2

=

14

D．∵a≠0，∴a＞0
∴|a+b|-|4a-b|≤|（a+b）+（4a-b）|=5|a|=5a，
∵|a+b|-|4a-b|≤|a|f（x）對任意a，b∈R，且a≠0恒成立，
∴5a≤af（x）
∴f（x）≥5
∴x≤-2.5或x≥2.5
∴x的取值范圍是x≤-2.5或x≥2.5．

點評：本題是選作題，考查幾何證明選講，考查逆矩陣，考查坐標系與參數方程，考查絕對值不等式，綜合性強．