Question

（2013•宿遷一模）【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請選定其中兩題，并在相應的答題區域內作答．若多做，則按作答的前兩題評分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，已知AB，CD是圓O的兩條弦，且AB是線段CD的 垂直平分線，若AB=6，CD=2

5

，求線段AC的長度．
B．選修4-2：矩陣與變換（本小題滿分10分）
已知矩陣M=

2 1 1 a

的一個特征值是3，求直線x-2y-3=0在M作用下的新直線方程．
C．選修4-4：坐標系與參數方程（本小題滿分10分）
在平面直角坐標系xOy中，已知曲線C的參數方程是

x=cosα y=sinα+1

（α是參數），若以O為極點，x軸的正半軸為極軸，取與直角坐標系中相同的單位長度，建立極坐標系，求曲線C的極坐標方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
已知關于x的不等式|ax-1|+|ax-a|≥1的解集為R，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：A：設AB和 CD交與點E，設AE=x，由題意可得AB是直徑，EB=6-x，CE=5．由射影定理求出x的值，從而求得AC的值．
B：由矩陣M=

2 1 1 a

的一個特征值是3，求得 a=2，M=

2 1 1 2

．設直線x-2y-3=0上的任意一點（x，y）在M作用下的對應點為（x′，y′），則有 

2 1 1 2

x y

=

x′ y′

，
即

x= 2 3 x′- 1 3 y′ y= 2 3 y′- 1 3 x′

，代人x-2y-3=0，整理可得新直線方程．
C：由參數方程消去參數，化為普通方程，求出圓心和半徑，可得在極坐標系下，曲線C是以(1，

π

2

)為圓心，半徑等于1的圓，從而求得它的極坐標方程．
D：因為|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，故原不等式解集為R，等價于|a-1|≥1，由此求得a的范圍，即為所求．

解答：解：A：連接BC，設AB和 CD交與點E，設AE=x，∵AB是線段CD的 垂直平分線，故AB是直徑，∠ACB=90°，故 EB=6-x，CE=5．
由射影定理可得 CE²=AE•EB，即 x（6-x）=5，解得x=1（舍去），或 x=5．
∴AC²=AE•AB=5×6=30，∴AC=

30

．
B：∵已知矩陣M=

2 1 1 a

的一個特征值是3，∴f（λ）=

λ-2 -1

=（λ-2）（λ-a）-1=0，即 （3-2）（3-a）-1=0，
解得a=2，∴M=

2 1 1 2

．
設直線x-2y-3=0上的任意一點（x，y）在M作用下的對應點為（x′y′，），
則有  

2 1 1 2

 

x y

=

x′ y′

，整理得

2x+y=x′ x+2y=y′

，即

x= 2 3 x′- 1 3 y′ y= 2 3 y′- 1 3 x′

，代人x-2y-3=0，整理得4x'-5y'-9=0，
故所求直線方程為：4x-5y-9=0．
C：由

y=sinθ+1 x=cosθ

消去θ，得x²+（y-1）²=1，
曲線C是以（0，1）為圓心，半徑等于1的圓． 
所以在極坐標系下，曲線C是以(1，

π

2

)為圓心，半徑等于1的圓．
所以曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ．  
D：因為|ax-1|+|ax-a|≥|a-1|，故原不等式解集為R等價于|a-1|≥1．所以a≥2，或a≤0．
又因為a＞0，所以a≥2，所以正實數a的取值范圍為[2，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，與圓有關的比例線段，矩陣的特征值與特征向量，圓的參數方程、極坐標方程的應用，屬于中檔題．