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已知函數(shù)f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P滿足2
OP
=
OM
+
ON
（O為坐標原點）．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)，其中n∈N*，n≥2令an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
，其中n∈N*，Tn為數(shù)列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求m的取值范圍．
（3）對于給定的實數(shù)a（a＞1）是否存在這樣的數(shù)列{an}，使得f(an)=log3(
3
an+1)，且a1=
1
a-1
？若存在，求出a滿足的條件；若不存在，請說明理由．
分析：（1）設(shè)P點坐標為(
1
2
，yP)，由已知的向量關(guān)系得出x1+x2=1，利用對數(shù)運算即可求得y1+y2為定值；
（2）由（1）知當x1+x2=1時，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1．得出Sn=
n-1
2
，下面對n進行分類討論：當n≥2時，當n=1時，得到：an=
1
n+1
-
1
n+2
(n∈N*)再利用數(shù)列求和得出Tn，結(jié)合Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立結(jié)合基本不等式即可求得m的取值范圍；
（3）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在數(shù)列{an}滿足條件，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)，求出an的長，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．
解答：解：（1）設(shè)P點坐標為(
1
2
，yP)，由已知可得，
OP
=
1
2
(
OM
+
ON
)則(
1
2
，yP)=
1
2
(x1+x2，y1+y2)，
∴x1+x2=1y1+y2=log3
3
x1
1-x1
+log3
3
x2
1-x2
=log3
3x1x2
1-(x1+x2)+x1x2
=log3
3x1x2
1-1+x1x2
=1
（2）由（1）知當x1+x2=1時，y1+y2=f（x1）+f（x2）=1.Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)…+f(
n-1
n
)，①Sn=f(
n-1
n
)+…+f(
2
n
)+f(
1
n
)，②，
∴2Sn=n-1，故Sn=
n-1
2

當n≥2時，an=
1
4×
n+1
2
×
n+2
2
=
1
n+1
-
1
n+2
．
又當n=1時，a1=
1
6
=
1
2
-
1
3
，所以an=
1
n+1
-
1
n+2
(n∈N*)
故Tn=(
1
2
-
1
3
)+(
1
3
-
1
4
)+…+(
1
n+1
-
1
n+2
)=
n
2(n+2)

∵Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立．
∴m＞
Tn
Sn+1+1
=
n
(n+2)2
=
1
n+
4
n
+4
，而n+
4
n
+4≥8（當且僅當n=2時等號成立）
∴m＞
1
8
，即m的取值范圍是(
1
8
，+∞)
（3）假設(shè)存在數(shù)列{an}滿足條件，則log3(
3
an+1)=log3
3
an
1-an
，
即an+1=
an
1-an
⇒
1
an+1
=
1
an
-1，∴{
1
an
}是以
1
a1
=a-1為首項，-1為公差的等差數(shù)列，
于是
1
an
=a-1+(n-1)×(-1)=a-n，∴an=
1
a-n
，注意到an=
1
a-n
∈(0，1)
∴當a＞3時，存在這樣的有窮數(shù)列{an}；當1＜a≤3時，不存在這樣的數(shù)列．
點評：本小題主要考查等差數(shù)列的應(yīng)用、數(shù)列與不等式的綜合、數(shù)列的求和等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b
（1）若函數(shù)f（x）在P（0，f（0））的切線方程為y=5x+1，求實數(shù)a，b的值：
（2）當a＜3時，令g(x)=
f′(x)
x
，求y=g（x）在[l，2]上的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
2
x2-alnx的圖象在點P（2，f（2））處的切線方程為l：y=x+b
（1）求出函數(shù)y=f（x）的表達式和切線l的方程；
（2）當x∈[
1
e
，e]時（其中e=2.71828…），不等式f（x）＜k恒成立，求實數(shù)k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=lnx，g(x)=
12
x2+a（a為常數(shù)），直線l與函數(shù)f（x）、g（x）的圖象都相切，且l與函數(shù)f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（1）求直線l的方程及a的值；
（2）當k＞0時，試討論方程f（1+x2）-g（x）=k的解的個數(shù)．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
13
x3+x2+ax．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）設(shè)f（x）有兩個極值點x1，x2，若過兩點（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的直線l與x軸的交點在曲線y=f（x）上，求a的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x3-
32
ax2+b，a，b為實數(shù)，x∈R，a∈R．
（1）當1＜a＜2時，若f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；
（2）在（1）的條件下，求經(jīng)過點P（2，1）且與曲線f（x）相切的直線l的方程；
（3）試討論函數(shù)F（x）=（f′（x）-2x2+4ax+a+1）•ex的極值點的個數(shù)．

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同步練習冊答案
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