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2025年全程助學與學習評估九年級數學上冊浙教版
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1. 下列函數中，不一定是二次函數的是（
D
）
A.$ y = 5x^{2} + 1 $
B.$ y = - 2x^{2} + 3x $
C.$ y = - 5x^{2} $
D.$ y = ax^{2} + bx + c $
答案：D
解析：
形如$y = ax^{2}+bx + c$（$a\neq0$，$a$、$b$、$c$是常數）的函數叫做二次函數。
選項A中$y = 5x^{2}+1$，其中$a = 5\neq0$，是二次函數；
選項B中$y=-2x^{2}+3x$，其中$a=-2\neq0$，是二次函數；
選項C中$y = - 5x^{2}$，其中$a=-5\neq0$，是二次函數；
選項D中$y = ax^{2}+bx + c$，當$a = 0$時，函數變為$y=bx + c$，是一次函數，不一定是二次函數。
2. 若二次函數 $ y = ( - 2x + 1 ) ^{2} - 5 $ 的二次項系數為 $ a $，一次項系數為 $ b $，常數項為 $ c $，則 $ b^{2} - 4ac = $
80
.
答案：80
解析：
將二次函數$y=(-2x + 1)^2 - 5$展開：$\begin{aligned}y&=( -2x)^2 + 2×(-2x)×1 + 1^2 - 5\\&=4x^2 - 4x + 1 - 5\\&=4x^2 - 4x - 4\end{aligned}$可得$a=4$，$b=-4$，$c=-4$。則$b^2 - 4ac=(-4)^2 - 4×4×(-4)=16 + 64=80$。
3. 某工廠第一年的利潤為 30 萬元，第三年的利潤 $ y $（萬元）與平均年增長率 $ x $ 之間的函數表達式是
$y = 30(1 + x)^{2}$
.
答案：$y = 30(1 + x)^{2}$
解析：
設平均年增長率為$x$，第一年的利潤為30萬元，則第二年的利潤為$30(1 + x)$萬元，第三年的利潤相對于第二年繼續增長$x$，則第三年的利潤為$30(1 + x)(1 + x) = 30(1 + x)^{2}$萬元。
所以，第三年的利潤$y$（萬元）與平均年增長率$x$之間的函數表達式是$y = 30(1 + x)^{2}$，且由于增長率$x$應為正數，所以$x$的取值范圍為$x＞0$（或寫成$x$為實數且$x ＞ - 1$且$x\neq0$等合理形式均可，題目未要求可不寫出），該函數表達式已滿足題目要求。
4. 正方形的邊長為 3，若邊長增加 $ x $，那么面積增加 $ y $，則 $ y $ 與 $ x $ 之間的函數表達式是（
C
）
A.$ y = x^{2} + 9 $
B.$ y = ( x + 3 ) ^{2} $
C.$ y = x^{2} + 6x $
D.$ y = 9 - x^{2} $
答案：C
解析：
原正方形邊長為3，面積為 $3^2 = 9$。邊長增加 $x$ 后，新邊長為 $3 + x$，新面積為 $(3 + x)^2$。面積增加量為 $y = (3 + x)^2 - 9$，展開得 $y = 9 + 6x + x^2 - 9 = x^2 + 6x$。因此，$y$ 與 $x$ 的函數表達式為 $y = x^2 + 6x$。
5. 已知二次函數 $ y = 2x^{2} + bx - c $，當 $ x = - 2 $ 時，$ y = 0 $；當 $ x = 3 $ 時，$ y = 0 $.
（1）求 $ b $，$ c $ 的值.
（2）當 $ x = - 3 $ 時，求 $ y $ 的值.
答案：（1）將$x=-2$，$y=0$代入$y=2x^{2}+bx - c$，得$2×(-2)^{2}+b×(-2)-c=0$，即$8 - 2b - c=0$；將$x=3$，$y=0$代入，得$2×3^{2}+b×3 - c=0$，即$18 + 3b - c=0$。聯立方程組$\begin{cases}8 - 2b - c=0\\18 + 3b - c=0\end{cases}$，兩式相減得$10 + 5b=0$，解得$b=-2$，代入$8 - 2×(-2)-c=0$，得$c=12$。
（2）由（1）知二次函數為$y=2x^{2}-2x - 12$，當$x=-3$時，$y=2×(-3)^{2}-2×(-3)-12=18 + 6 - 12=12$。
（1）$b=-2$，$c=12$；（2）$12$
6. 如圖，一塊矩形草地的長為 100m，寬為 80m，欲在中間修筑兩條互相垂直的寬為 $ x $（m）的小路，這時草坪的面積為 $ y $（$ m^{2} $）.求 $ y $ 與 $ x $ 的函數關系式，并求出 $ x $ 的取值范圍.
]
答案：由題意，兩條小路互相垂直，寬均為$x$m。
矩形草地的長為$100$m，修筑一條寬為$x$m的縱向小路后，剩余草坪的長為$(100 - x)$m；寬為$80$m，修筑一條寬為$x$m的橫向小路后，剩余草坪的寬為$(80 - x)$m。
草坪面積$y=(100 - x)(80 - x)$，展開得：
$y=100×80 - 100x - 80x + x2 = x2 - 180x + 8000$
因為小路寬$x$必須為正數，且不能超過草地的長和寬，所以$x ＞ 0$，$100 - x ＞ 0$，$80 - x ＞ 0$，即$0 ＜ x ＜ 80$。
綜上，$y$與$x$的函數關系式為$y = x2 - 180x + 8000$，$x$的取值范圍是$0 ＜ x ＜ 80$。
