Question

【題目】如圖甲所示，A、B為不同材料制成的體積相同的實心正方體，浸沒在圓柱形容器的水中，容器內部底面枳是正方體下表面積的4倍。沿固定方向緩慢勻速拉動繩子，開始時刻，A的上表面剛好與水而相平，滑輪組繩子自由端的拉力大小為F0，F隨繩端移動距離S繩變化的圖象如圖乙所示，已知動滑輪的重力G動=5N，g取10N/kg。除了連接A、B間的繩子承受拉力有一定限度外，其它繩子都不會被拉斷。滑輪與軸的摩擦、繩的質量等次要因素都忽略不計，忽略水面升降變化。

（1）正方體A、B之間的繩子長度L繩是多少？

（2）正方體A和B的密度ρA、ρB分別是多少？

（3）整個過程中，水對容器底部壓強的最大變化量△P是多少？

Answer 1

【答案】（1）0.15m（2）2.5×103kg/m3，2×103kg/m3（3）答案見解析

【解析】

（1）由圖甲知道，承擔物體AB的有效段數是n=2，由圖乙知道，從D到E的過程中，繩子自由端的拉力大小不變，由此可知，D點應是物體A的下表面剛好離開水面的時候，E點應是B的上表面剛好到達水面的時候，即此過程物體運動的距離就是A、B間繩子的長度，所以，正方體A、B之間的繩子長度是：L繩 =s繩DE/2=（0.45m0.15m）/2=0.15m；

（2）由圖乙知道，CD段對應的過程是物體A出水面的過程，此過程繩端移動的距離是0.15 m，即物體A上升的距離是：h=0.15m/2=0.075m；

此過程中，A、B排開液體的體積變化量，即為物體A的體積，即△V排 =VA =S容△h，

設物體A的邊長為L，因為容器內部底面枳是正方體下表面積的4倍，所以，L3 =4L2 ×（L-0.075m），解得L=0.1 m。

所以，物體A的體積是：VA =VB =L3 =（0.1m）3 =10-3 m3 ，

物體A浸沒時受到的浮力是：FA =ρ水gV排=1.0×103 kg/m3 ×10N/kg×10-3 m3=10N，

因為A、B兩物體的體積相同，所以物體B浸沒時受到的浮力是：FB=FA=10N，

根據題意和圖乙知道，在C點時，繩端的拉力是：F0 =（GA+GB+G輪FAFB）/2，

在D點時，繩端的拉力是：4F0/3=（GA+GB+G輪FB）/2，

因為AB是體積相同的實心正方體，由圖乙發現，E、J間的距離小于C、D間的距離，說明在B物體露出水面的運動過程中， A、B間的繩子斷了，且繩子斷了之后繩端的拉力是：F0 =（GA+G輪）/2，聯立上式解得：GA =25N，GB =20N，F0 =15N，

所以，A的質量是：mA=GA/g=25N/10N/kg=2.5kg，B的質量是：mB=GB/g=20N/10N/kg=2kg，

A的密度是：ρA =mA/VA=2.5kg/1×103m3=2.5×103 kg/m3

B的密度是：ρB =mA/VA=2kg/1×103m3=2×103 kg/m3

（3）根據題意知道，繩子斷開瞬間與初始狀態相比，頁面的高度差最大，所以，水對容器底部的壓強變化也最大，又因為水平面上的圓柱形容器中，液體對容器底部的壓力的變化量是：△F=△F浮，

A、B間繩子在J點斷開的瞬間，此時繩端的拉力是：3F2/2=（GA+GB+G輪F′B）/2，解得此時B受到的浮力是：F′B=5N，

所以，△F=△F浮=（FA +FB） -F′B=10N+10N-5N=15N，

故對容器底部壓強的最大變化量是：△p=△F/S=15N/4SA=15N/4×(0.1m)2=375Pa