Question

【題目】如圖，正方形ABCD中，點E為對角線AC上一點，且AECB，連接DE并延長交BC于點G，過點A作AH⊥BE于點H，交BC于點F．以下結論：①BHHE；②∠BEG45°；③△ABF ≌△DCG； ④4BH2BG·CD．其中正確結論的個數是( )

A.1個B.2

C.3D.4

Answer 1

【答案】D

【解析】

利用正方形的性質得到AB=BC=AE，由此得到判斷①正確；先求出∠BAC=∠DAC=45°，利用等腰三角形的性質求出∠AEB=∠AED=，再根據對頂角相等及平角求出∠BEG，由此判斷②；根據等腰三角形的三線合一的性質求出∠BAF=，推出∠DGC=∠AFB，即可判斷③；證明△BEG∽△DCE，即可判斷④．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=BC，

∵AE=CB，

∴AE=AB，

∵AH⊥BE，

∴BH=HE，即①正確；

∵AC是正方形ABCD的對角線，

∴∠BAC=∠DAC=45°，

∵AE=AB=AD，

∴∠AEB=∠AED=，

∴∠CEG=∠AED=67.5°，

∴∠BEG=180°-∠AEB-∠CEG=45°，故②正確；

∵AB=AE，AH⊥BE，

∴∠BAF=

∵

∴

∵AD∥BC，

∴∠DGC=∠ADE

∴∠AFB=∠DGC，

又∵AB=DC，∠DCG=

∴△ABF ≌△DCG，故③正確；

∵BC=DC，∠BCE=∠DCE=45°，CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，∠CBE=∠CDE，

∵∠BEG=∠DCE=45°，

∴△BEG∽△DCE，

∴

∴，

∵DE=BE=2BH，

∴4BH2BG·CD，故④正確，

故正確的有①②③④，

故選：D．