Question

【題目】問題探究

（1）如圖①，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，如果BC邊上存在點P，使△APD為等腰三角形，那么請畫出滿足條件的一個等腰三角形△APD，并求出此時BP的長；

（2）如圖②，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=12，AD是BC邊上的高，E、F分別為邊AB、AC的中點，當AD=6時，BC邊上存在一點Q，使∠EQF=90°，求此時BQ的長；

問題解決

（3）有一山莊，它的平面圖為如圖③的五邊形ABCDE，山莊保衛人員想在線段CD上選一點M安裝監控裝置，用來監視邊AB，現只要使∠AMB大約為60°，就可以讓監控裝置的效果達到最佳，已知∠A=∠E=∠D=90°，AB=270m，AE=400m，ED=285m，CD=340m，問在線段CD上是否存在點M，使∠AMB=60°？若存在，請求出符合條件的DM的長，若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）2；4-；；（2）3+;（3）（400-45-30）米．

【解析】

（1）由于△PAD是等腰三角形，底邊不定，需三種情況討論，運用三角形全等、矩形的性質、勾股定理等知識即可解決問題．

（2）以EF為直徑作⊙O，易證⊙O與BC相切，從而得到符合條件的點Q唯一，然后通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角的三角函數值等知識即可求出BQ長．

（3）要滿足∠AMB=60°，可構造以AB為邊的等邊三角形的外接圓，該圓與線段CD的交點就是滿足條件的點，然后借助于等邊三角形的性質、特殊角的三角函數值等知識，就可算出符合條件的DM長．

（1）①作AD的垂直平分線交BC于點P，如圖①，

則PA=PD．

∴△PAD是等腰三角形．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB=DC，∠B=∠C=90°．

∵PA=PD，AB=DC，

∴Rt△ABP≌Rt△DCP（HL）．

∴BP=CP．

∵BC=4，

∴BP=CP=2．

②以點D為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P′，如圖①，

則DA=DP′．

∴△P′AD是等腰三角形．

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD=BC，AB=DC，∠C=90°．

∵AB=3，BC=4，

∴DC=3，DP′=4．

∴CP′==．

∴BP′=4-．

③點A為圓心，AD為半徑畫弧，交BC于點P″，如圖①，

則AD=AP″．

∴△P″AD是等腰三角形．

同理可得：BP″=．

綜上所述：在等腰三角形△ADP中，

若PA=PD，則BP=2；

若DP=DA，則BP=4-；

若AP=AD，則BP=．

（2）∵E、F分別為邊AB、AC的中點，

∴EF∥BC，EF=BC．

∵BC=12，

∴EF=6．

以EF為直徑作⊙O，過點O作OQ⊥BC，垂足為Q，連接EQ、FQ，如圖②．

∵AD⊥BC，AD=6，

∴EF與BC之間的距離為3．

∴OQ=3

∴OQ=OE=3．

∴⊙O與BC相切，切點為Q．

∵EF為⊙O的直徑，

∴∠EQF=90°．

過點E作EG⊥BC，垂足為G，如圖②．

∵EG⊥BC，OQ⊥BC，

∴EG∥OQ．

∵EO∥GQ，EG∥OQ，∠EGQ=90°，OE=OQ，

∴四邊形OEGQ是正方形．

∴GQ=EO=3，EG=OQ=3．

∵∠B=60°，∠EGB=90°，EG=3，

∴BG=．

∴BQ=GQ+BG=3+．

∴當∠EQF=90°時，BQ的長為3+．

（3）在線段CD上存在點M，使∠AMB=60°．

理由如下：

以AB為邊，在AB的右側作等邊三角形ABG，

作GP⊥AB，垂足為P，作AK⊥BG，垂足為K．

設GP與AK交于點O，以點O為圓心，OA為半徑作⊙O，

過點O作OH⊥CD，垂足為H，如圖③．

則⊙O是△ABG的外接圓，

∵△ABG是等邊三角形，GP⊥AB，

∴AP=PB=AB．

∵AB=270，

∴AP=135．

∵ED=285，

∴OH=285-135=150．

∵△ABG是等邊三角形，AK⊥BG，

∴∠BAK=∠GAK=30°．

∴OP=APtan30°

=135×

=45．

∴OA=2OP=90．

∴OH＜OA．

∴⊙O與CD相交，設交點為M，連接MA、MB，如圖③．

∴∠AMB=∠AGB=60°，OM=OA=90．．

∵OH⊥CD，OH=150，OM=90，

∴HM==30．

∵AE=400，OP=45，

∴DH=400-45．

若點M在點H的左邊，則DM=DH+HM=400-45+30img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2020/02/15/08/332c7e85/SYS202002150806083393103338_DA/SYS202002150806083393103338_DA.003.png" width="19" height="21" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />．

∵400-45+30＞340，

∴DM＞CD．

∴點M不在線段CD上，應舍去．

若點M在點H的右邊，則DM=DH-HM=400-45-30．

∵400-45-30＜340，

∴DM＜CD．

∴點M在線段CD上．

綜上所述：在線段CD上存在唯一的點M，使∠AMB=60°，

此時DM的長為（400-45-30）米．