Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線AB與x軸、y軸相交于、兩點，動點C在線段OA上（不與O、A重合），將線段CB繞著點C順時針旋轉得到CD，當點D恰好落在直線AB上時，過點D作軸于點E.

（1）求證，；

（2）如圖2，將沿x軸正方向平移得，當直線經過點D時，求點D的坐標及平移的距離；

（3）若點P在y軸上，點Q在直線AB上，是否存在以C、D、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的Q點坐標，若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），見解析；（2）D（3，1），平移的距離是個單位，見解析；（3）存在滿足條件的點Q，其坐標為或或，見解析.

【解析】

（1）根據AAS或ASA即可證明；
（2）首先求直線AB的解析式，再求出出點D的坐標，再求出直線B′C′的解析式，求出點C′的坐標即可解決問題；

（3）如圖3中，作CP∥AB交y軸于P，作PQ∥CD交AB于Q，則四邊形PCDQ是平行四邊形，求出直線PC的解析式，可得點P坐標，點C向左平移1個單位，向上平移個單位得到P，推出點D向左平移1個單位，向上平移個單位得到Q，再根據對稱性可得Q′、Q″的坐標.

（1）∵，

∴，，

∴，

∵，

∴

（2）∵直線AB與x軸，y軸交于、兩點

∴直線AB的解析式為

∵，

∴，設，則

把代入得到，

∴

∵，

∴直線BC的解析式為，

設直線的解析式為，把代入得到

∴直線的解析式為，

∴，

∴

∴平移的距離是個單位.

（3）如圖3中，作CP∥AB交y軸于P，作PQ∥CD交AB于Q，則四邊形PCDQ是平行四邊形，

易知直線PC的解析式為y=-x+，
∴P（0，），
∵點C向左平移1個單位，向上平移個單位得到P，
∴點D向左平移1個單位，向上平移個單位得到Q，
∴Q（2，），
當CD為對角線時，四邊形PCQ″D是平行四邊形，可得Q″，
當四邊形CDP′Q′為平行四邊形時，可得Q′，
綜上所述， 存在滿足條件的點Q，其坐標為或或