Question

【題目】問題情境

在綜合實踐課上，同學們以“正方形和直線的旋轉”為主題分組開展數學探究活動，已知正方形ABCD，直線PQ經過點A，并繞點A旋轉，作點B關于直線PQ的對稱點E，直線DE交直線PQ于點F，連結AE，BE．

操作發現

（1）如圖1，設∠PAB=25°則∠ADF=　 　°．

（2）“夢想小組”的同學們發現，∠BEF的度數是一個定值，這個值為　 　．

（3）“創新小組”的同學們發現，線段AB、DF、EF之間存在特殊的數量關系，請寫出這一關系式，并說明理由：

拓展應用

（4）如圖2，當直線PQ在正方形ABCD的外部時，“進取小組”的同學們發現（3）的結論仍然成立，并提出新問題；若DF=3，EF=4，直接寫出正方形ABCD的邊長．

Answer 1

【答案】（1）70°；（2）45°；（3）EF2+DF2=2AB2，詳見解析；（4）5

【解析】

（1）利用折疊得出∠BAP=∠EAP=25°，進而求出∠BAE=50°，即可得出結論；

（2）設∠BAP=α，先求出∠AED=45°+α，再求出∠AEB，即可得出結論；

（3）利用（2）判斷出∠BFE=90°，即△BDF是直角三角形，利用勾股定理即可得出結論；

（4）先判斷出∠AED=∠ABF，再判斷出∠AED=∠ADE，即可得出∠BFD=90°，即可得出結論．

解：（1）∵∠PAB=25°，

由折疊知，∠PAB=∠EAP=25°，

∴∠BAE=50°，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，

∴∠DAE=40°，

∴∠ADF=（180°﹣40°）=70°

（2）設∠BAP=α，

由折疊知，AE=AD，∠EAF=∠BAF=α，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠BAD=90°，

∴AD=AE，∠DAE=90°﹣∠BAE=90°﹣2α，

∴∠AED=（180°﹣∠DAE）=90°﹣∠DAE=90°﹣（90°﹣2α）=45°+α，

由折疊知，BE⊥AP，

∴∠AEB+∠EAF=90°，

∴∠AEB=90°﹣∠EAF=90°﹣α，

∴∠BEF=180°﹣∠AEB﹣∠AED=180°﹣（90°﹣α）﹣（45°+α）=45°，

故答案為：45°；

（3）EF2+DF2=2AB2；

理由：如圖1，連接BF，

由折疊知，BF=EF，∠BEF=∠EBF，

由（2）知，∠BEF=45°，

∴∠BFE=90°，

連接BD，

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴BD2=2AB2，

∴EF2+DF2=2AB2；

（4）如圖2，連接BD，BF，

由折疊知，∠BEF=∠EBF，∠AEB=∠ABE，

∴∠AED=∠ABF，

由折疊知，EF=BF，AE=AB，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAD=90°，AB=AD，

∴AE=AD，

∴∠AED=∠ADE，

∴∠ABF=∠ADE，

∵∠AOB=∠FOD，

∴∠BFD=∠BAD=90°

∴△BDF是直角三角形，

∴BD2=BF2+DF2=EF2+DF2，

∵BD是正方形ABCD的對角線，

∴BD2=2AB2，

∴EF2+DF2=2AB2，

∵DF=，EF=，

∴2AB2=32+18=50，

∴AB=5

即：正方形ABCD的邊長為5．