Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，E是AD邊的中點，BE⊥AC于點F，連接DF，下列四個結論：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四邊形CDEF＝S△ABF．其中正確的結論有（ ）個

A.4B.3C.2D.1

Answer 1

【答案】A

【解析】

①四邊形ABCD是矩形，BE⊥AC，則∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正確；

②由，又AD∥BC，所以，進而得出，故②正確；

③過D作DM∥BE交AC于N，得到四邊形BMDE是平行四邊形，求出BM=DE=1212BC，得到CN=NF，根據線段的垂直平分線的性質可得結論，故③正確；

④根據相似三角形的邊長之比得出△ABF和△ABC的比值，從而得出四邊形CDEF和△ABF的面積之比，即可判定④正確.

過D作DM∥BE交AC于N，如圖所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，

∵BE⊥AC于點F，

∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正確；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，

∴，

∵，

∴，

∴CF=2AF，故②正確，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四邊形BMDE是平行四邊形，

∴BM=DE=，

∴BM=CM，

∴CN=NF，

∵BE⊥AC于點F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，

∴DF=DC，故③正確；

∵

∴，

∵

設，則，S四邊形CDEF=

∴S四邊形CDEF＝S△ABF，故④正確；

故選：A.