Question

【題目】閱讀下面材料，并回答問題：

定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的所有點(diǎn)組成的圖形叫拋物線．點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線．

應(yīng)用：（1）如圖1，一條拋物線的焦點(diǎn)為F(0，1)，準(zhǔn)線為過點(diǎn)(0，-1)且平行于x軸的直線l；設(shè)點(diǎn)P(x，y)為拋物線上任意一點(diǎn)，小聰同學(xué)在應(yīng)用定義求這條拋物線的解析式時(shí)作出了如下不完整的解答，請(qǐng)你將余下部分補(bǔ)充出來．

解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)為拋物線上任意一點(diǎn)，作PM⊥l于點(diǎn)M，則PM=_________

作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則在△PFN中，有PN=，NF=，所以PF=__________

∵PF=PM

∴_________=____________，

將方程兩邊同時(shí)平方，解得拋物線的解析式為_____________

（2）如圖2，在（1）的條件下，點(diǎn)A(1，3)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，則△FAP的周長最小值為________

（3）在（1）（2）的條件下，如圖3，點(diǎn)B(4，4)是坐標(biāo)平面內(nèi)另一點(diǎn)，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PF和FH，問在拋物線上是否存在點(diǎn)P，使得以P，F，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y+1，，y+1，，；（2）；（3）存在，(1，)或(﹣1，)

【解析】

(1)設(shè)點(diǎn)P(x，y)為拋物線上任意一點(diǎn)，作PM⊥l于點(diǎn)M，根據(jù)拋物線的定義PF=PM以及兩點(diǎn)間的距離公式得到=，即可求解；

(2)拋物線的定義知PF=PM，為定長，故當(dāng)點(diǎn)A、P、M在同一直線上時(shí)，△FAP的周長最小，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得最小值；

(3)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求得AB= AO=，由拋物線的定義知PF=PH，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，即可求解．

(1)設(shè)點(diǎn)P(，)為拋物線上任意一點(diǎn)，作PM⊥于點(diǎn)M，則PM=，

作PN⊥y軸于點(diǎn)N，則在△PFN中，有PN=，NF=，所以PF=，

∵PF=PM，

∴=，

將方程兩邊同時(shí)平方，解得拋物線的解析式為；

故答案為：y+1，，y+1，，；

(2)∵PF=PM，

∴點(diǎn)A、P、M在同一直線上時(shí)，△FAP的周長最小，如圖：

，，

∴△FAP的周長最小值為：；

(3)存在，理由如下：

∵AB==，AO==，OB==4，

∴AB=OA，

∵PF=PH，

假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P，使得以P，F，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABO相似，

則PH與AB，FH與OB是對(duì)應(yīng)邊，

∴，

設(shè)點(diǎn)P(m，m2)，則H為(m，-1)，

則，

∴，

解得：，

∴點(diǎn)P坐標(biāo)(1，)或(﹣1，)．