Question

【題目】如圖，已知，，點是線段上一點（不與端點重合），、分別平分和交于點、.

（1）請說明：；

（2）當點在上移動時，請寫出和之間滿足的數量關系為______；

（3）若，則當點移動到使得時，請直接寫出______（用含的代數式表示）.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）∠BQE=2∠BNE，證明見解析；（3）∠BEQ=，證明見解析.

【解析】

（1）根據，可證明,從而可證明∠1=∠DBC，根據可證明,從而證明BD//EF；

（2）通過角平分線和平行線的性質可證明∠BNE=∠NEQ，通過三角形的外角定理可證明∠BQE=2∠BNE；

（3）通過和三角形內角和定理可證明∠BEM=∠BNE，由（1）中∠BNE=∠NEQ可得∠BEM=∠NEQ，所以∠BEQ=∠MEN，通過角平分線的性質可得∠MEN==，即∠BEQ=.

（1）證明：

，

，

，

又，

，

∴BD//EF.

（2）∠BQE=2∠BNE，證明如下：

∵BD//EF

∴∠FEN=∠BNE

又∵EN平分∠QEF，

∴∠FEN=∠NEQ，

∴∠BNE=∠NEQ，

∵∠BNE+∠NEQ=∠BQE，

∴∠BQE=2∠BNE.

（3）∠BEQ=，證明如下：

∵EN平分∠QEF，

∴∠NEQ=，

同理可得∠QEM=，

∴∠MEN=，

∵，

∴∠2=，

∴∠BEF=180°-，

∴∠MEN=，

在△BEM中，∠CBD+∠BME+∠BEM=180°，

在△BEN中，∠CBD+∠BNE+∠BEN=180°，

∵，

∴∠BEM=∠BNE，

∵由（1）得∠BNE=∠NEQ，

∴∠BEM=∠NEQ，

∴∠BEQ=∠BEM+∠MEQ=∠NEQ+∠MEQ=.