Question

【題目】如圖1, O為正方形ABCD的中心，分別延長OA，OD到點F，E，使OF=2OA，OE=2OD，連接EF，將△FOE繞點O按逆時針方向旋轉角α得到△FOE，連接AE，BF(如圖2).

（1）探究AE與BF的數量關系，并給予證明;

（2）當α=30°時，求證: △AOE為直角三角形.

Answer 1

【答案】（1）AE=BF，理由見解析；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：（1）利用旋轉不變量找到相等的角和線段，證得△E′AO≌△F′BO后即可證得結論；

（2）利用已知角，得出∠GAE′=∠GE′A=30°，從而證明直角三角形．

試題解析：（1）證明：∵O為正方形ABCD的中心，

∴OA=OD，

∵OF=2OA，OE=2OD，

∴OE=OF，

∵將△EOF繞點O逆時針旋轉α角得到△E′OF′，

∴OE′=OF′，

∵∠F′OB=∠E′OA，OA=OB，

在△E′AO和△F′BO中，

，

∴△E′AO≌△F′BO，

∴AE′=BF′；

（2）證明：∵取OE′中點G，連接AG，

∵∠AOD=90°，α=30°，

∴∠E′OA=90°-α=60°，

∵OE′=2OA，

∴OA=OG，

∴∠E′OA=∠AGO=∠OAG=60°，

∴AG=GE′，

∴∠GAE′=∠GE′A=30°，

∴∠E′AO=90°，

∴△AOE′為直角三角形．